4. Предложение. Имеется взаимно однозначное соответствие между направлениями в и разложениями в прямую сумму двух ортогональных одномерных подпространств . Именно, направлению R₊f отвечают - собственное подпространство для положительного собственного значения f, то же для отрицательного собственного значения.

Доказательство. и ортогональны по теореме п. 4. Замена f на af, a > 0, не меняет и . Наоборот, если ортогональное разложение задано, то множество операторов , растягивающих в раз вдоль и в раз вдоль , образует направление в .

5. Физическая интерпретация. Отождествим с физическим пространством, например, посредством выбора ортогональных координат в и в пространстве. Отождествим с пространством внутренних состояний квантовой системы "частица со спином 1/2, локализованная вблизи начала координат" (например, электрон). Выбрав направление , включим магнитное поле в физическом пространстве вдоль этого направления. В этом поле система будет иметь два стационарных состояния, которые как раз и суть и .

Если направление R₊f отвечает, скажем, верхней вертикальной полуоси избранной координатной системы в физическом пространстве ("ось z"), то состояние называется состоянием "с проекцией спина +1/2 на ось z" (или "спин вверх"), а - соответственно состоянием "с проекцией спина -1/2" (или "спин вниз").

Такая традиционная терминология является реликтом доквантовых представлений о том, что наблюдаемая спина отвечает классической наблюдаемой "момент количества движения" - характеристике внутреннего вращения системы и потому может быть сама представлена вектором в , который поэтому имеет проекции на оси координат в . Это совершенно неверно: состояния системы суть лучи в , а не векторы в . Расхождение с классикой становится еще более очевидным при рассмотрении систем со спином s/2, s > 1, для которых dim = s + 1. Точное утверждение дается именно предложением п. 4.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-