Ядро гомоморфизма состоит только из скалярных операторов : это следует из предложения п. 7, согласно которому базис восстанавливается по как раз с точностью до умножения . Пересечение группы с SU(2) равно в точности , что и завершает доказательство.

Смысл построенного гомоморфизма выясняется в топологии: группа SU(2) односвязна, т. е. любую замкнутую кривую на ней можно непрерывным движением стянуть в точку, тогда как для SO(3) это неверно. Таким образом, SU(2) является универсальным накрытием группы SO(3).

Воспользуемся доказанной теоремой для того, чтобы разобраться в структуре группы SO(3), играя на том, что SU(2) устроена проще. Здесь уместно процитировать Р. Фейнмана:

"Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи".

13. Структура SU(2). Прежде всего, элементы SU(2) суть -матрицы с комплексными элементами, для которых и det U = 1. Отсюда сразу же следует, что

Множество пар {(a, b) | |a|² + |b|² = 1 в C² превращается в сферу единичного радиуса в овеществлении C², т. е. R⁴:

(Re a)² + (Im a)² + (Re b)² + (Im b)² = 1.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-