14. Структура SO(3). Мы отождествили SU(2) топологически с трехмерной сферой. При гомоморфизме в одну точку SO(3) переходят пары элементов . На сфере они образуют концы одного из диаметров. Поэтому SO(3) топологически есть результат склеивания трехмерной сферы по парам противоположных точек. С другой стороны, пары противоположных точек сферы находятся во взаимно однозначном соответствии с прямыми в четырехмерном вещественном пространстве, соединяющими точки пары. Множество таких прямых называется трехмерным вещественным проективным пространством и обозначается иногда RP³; позже изучим проективные пространства подробнее. Таким образом, SO(3) топологически эквивалентна RP³.

Посмотрим теперь, во что гомоморфизм s переводит образующие SU(2), описанные в предыдущем пункте. В стандартном базисе пространства имеем

Поэтому

является вращением на угол t вокруг оси . Совершенно аналогично проверяется, что есть вращение на угол t вокруг оси также для k = 2, 3. В частности, любое вращение из SO(3) разлагается в произведение трех вращений относительно на углы Эйлера , причем можно считать меняющимся от 0 до .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-