Мы дали идеализированное описание классического эксперимента Штерна-Герлаха (1922). Вместо электронов в нем использовались ионы серебра, проходившие между полюсами электромагнита. Из-за неоднородности магнитного поля ионы, вышедшие в состояниях, близких к и соответственно, пространственно разделялись на два пучка, что и позволило макроскопически отождествить эти состояния. Серебро испарялось в электрической печке, а магнитное поле между полюсами играло роль объединения двух фильтров, пропускающих раздельно состояния и .

Продолжим теперь изучение евклидова пространства .

5. Предложение. (f, g) = 0 тогда и только тогда, когда fg + gf = 0.

Доказательство. Имеем

Но f² имеет единственное собственное значение | f |², поэтому все квадраты операторов из являются скалярными, значит и fg + gf - скалярный оператор, и он равен нулю тогда и только тогда, когда его след равен нулю.

6. Ортонормированные базисы в . Из доказательства предложения п. 5 ясно, что операторы {e₁, e₂, e₃ образуют ортонормированный базис тогда и только тогда, когда

В частности, если в выбран ортонормированный базис, то операторы, заданные в нем матрицами Паули , образуют ортонормированный базис в :

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-