Трехмерное евклидово пространство

1. Трехмерное евклидово пространство является основной моделью физического пространства Ньютона и Галилея. Четырехмерное пространство Минковского , снабженное симметричной метрикой сигнатуры (r₊, r_-) = (1, 3), является моделью пространства-времени релятивистской физики. Уже поэтому они заслуживают более пристального изучения. С математической точки зрения они также имеют особые свойства, существенные для понимания устройства мира, в котором мы живем: связь вращений в с кватернионами и существование векторного произведения; геометрия векторов нулевой длины в .

Эти специальные свойства весьма удобно излагать на языке связи геометрии и с геометрией вспомогательного двумерного унитарного пространства , называемого пространством спиноров. Эта связь имеет также глубокий физический смысл, ставший ясным лишь после появления квантовой механики. Мы избрали именно такое изложение.

2. Фиксируем двумерное унитарное пространство . Обозначим через вещественное линейное пространство самосопряженных операторов в с нулевым следом. Каждый оператор имеет два вещественных собственных значения; они отличаются только знаком, т. к. след, равный их сумме, обращается в нуль. Положим

- положительное собственное значение f.

3. Предложение. с нормой является трехмерным евклидовым пространством.

Доказательство. В ортонормированном базисе операторы f представлены эрмитовыми матрицами вида

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-