Поэтому x, y должны удовлетворять еще условию ; тогда автоматически . Можно положить, например, .

Итак, в базисе {h₁, h₂ имеем , и этот базис определен с точностью до умножения на скаляр, по модулю равный единице. Те же рассуждения, что для e₁, показывают, что в таком базисе имеет вид , где . Кроме того, условие ортогональности e₁e₂ + e₂e₁ = 0 дает

т. е. , откуда , либо . Поэтому или .

8. Следствие. Пространство снабжено отмеченной ориентацией: ортонормированный базис {e₁, e₂, e₃ принадлежит к классу, отвечающему этой ориентации, тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис {h₁, h₂ в , в котором , a = 1, 2, 3.

Доказательство. Мы должны проверить, что если {e_a в базисе {h_b и в базисе задаются в точности матрицами Паули, то определитель матрицы перехода от {e_a к положителен, или что имеется непрерывное движение, переводящее {e_a в . Построим такое движение, показав, что {h_b переводится в унитарным непрерывным движением: существует такая система унитарных операторов , зависящая от параметра , что и {f_t(h₁), f_t(h₂) образуют ортонормированный базис для всех t. Тогда, обозначив через {g_t(e₁), g_t(e₂), g_t(e₃) ортонормированный базис , задающийся матрицами Паули в базисе {f_t(h₁), f_t(h₂), построим нужное нам движение в .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-