10. Кватернионы. Как и коммутирование, умножение операторов из , вообще говоря, выводит нас за пределы : одновременно нарушается эрмитовость и условие обращения следа в нуль. На самом деле произведение операторов из лежит в , причем "вещественная часть" есть как раз скалярное произведение, а "мнимая" - векторное. Действительно,

при

так что

или, как пишут физики,

Отсюда видно, что вещественное пространство операторов замкнуто относительно умножения. Его базис составляют в классических обозначениях элементы

с таблицей умножения

i² = j² = k² = - 1, ij = - ji = k,

ki = - ik = j; jk = - kj = i.

Другими словами, получаем тело кватернионов в одном из традиционных матричных представлений.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-