Когда речь идет о матрице линейного оператора A = (a_ik), всегда подразумевается, что в "двух экземплярах" пространства N выбирается один и тот же базис. Матрица линейного оператора квадратна. Матрица тождественного оператора единична.

Согласно п. 4, множество является в свою очередь линейным пространством . При отождествлении элементов с матрицами эта структура описывается следующим образом.

4. Сложение матриц и умножение на скаляр. Пусть A = (a_ik), B = (b_ik) - две матрицы одинакового размера над полем , . Положим

A + B = (c_ik), где c_ik = a_ik + b_ik,

aA = (aa_ik).

Эти операции определяют на матрицах данного размера структуру линейного пространства. Легко проверить, что если A = A_f, B = A_g (в одинаковых базисах), то

A_f + A_g = A_{f + g}, A_af = aA_f,

так что указанное соответствие (а оно биективно) является изоморфизмом. В частности, dim = dim M dim N, потому что пространство матриц изоморфно (размер ).

Композиция линейных отображений описывается в терминах умножения матриц

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-