8. Определитель и след линейного оператора. Положим

Tr f = Tr A_f = , где A_f = (a_ik)

(след - "trace" - матрицы A есть сумма элементов ее главной диагонали);

det f = det A_f.

Инвариантность определителя относительно сопряжения очевидна:

Чтобы установить инвариантность следа, докажем более общий факт: если А, B - такие матрицы, что АВ и ВА определены, то Tr AB = Tr BA.

Действительно,

Tr AB = , Tr AB = .

Если теперь B невырождена, то, применяя доказанный факт к матрицам B ^-1A и B, получим

Tr(B ^-1AB) = Tr(BB ^-1A) = Tr A.

В заключение приведем определения, названия и стандартные обозначения для нескольких классов матриц над вещественными и комплексными числами, исключительно важных в теории групп и алгебр Ли и ее многочисленных приложениях, в частности в физике. Первый класс образуют так называемые классические группы: они действительно являются группами относительно матричного умножения. Второй класс образуют алгебры Ли: они составляют линейные пространства и устойчивы относительно операции взятия коммутатора: [A, B] = AB - BA.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-