5. Умножение матриц. Произведение матрицы A размера над полем на матрицу B размера над полем определено тогда и только тогда, когда n' = n" = n; размер AB в этом случае равен , и по определению

AB = (c_ik), где .

Нетрудно проверить, что (AB)_t = B_tA_t.

Может случиться, что AB определена, но BA не определена (если ) или обе матрицы AB и BA определены, но имеют разные размеры (если ), или даже определены и имеют одинаковые размеры (m = n = p), но не совпадают. Иными словами, умножение матриц не коммутативно. Однако оно ассоциативно: если матрицы AB и BC определены, то (AB)C и A(BC) определены и совпадают. В самом деле, положим A = (a_ij), B = (b_jk), C = (c_kl). Согласованность размеров A с BC и AB с C предлагается проверить самостоятельно. Если она уже проверена, то мы можем вычислять (il)-й элемент (AB)C по формуле

а (il)-й элемент A(BC) по формуле

Так как умножение в ассоциативно, эти элементы совпадают. Зная уже, что умножение матриц над ассоциативно, мы можем убедиться, что "поблочное умножение" блочных матриц также ассоциативно.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-