Кроме того, произведение матриц линейно по каждому аргументу:

(aA + bB)C = aAC + bBC; A(bB + cC) = aAB + cAC.

Важнейшее свойство умножения матриц состоит в том, что оно отвечает композиции линейных отображений. Однако целый ряд других ситуаций в линейной алгебре также удобно описывается умножением матриц: это главная причина унифицирующей роли матричного языка и некоторой самостоятельности матричной алгебры внутри линейной алгебры. Перечислим некоторые из этих ситуаций.

6. Матрица композиции линейных отображений. Пусть P, N, M - три конечномерных линейных пространства, - два линейных отображения. Выберем базисы и {e_m в P, N, M соответственно и обозначим через A_g, A_f, A_fg матрицы g, f, fg в этих базисах. Мы утвержаем, что A_fg = A_fA_g. В самом деле, пусть A_f = (a_jl), A_g = (b_ik). Имеем

Следовательно, (j, k)-й элемент матрицы A_fg равен , т. е. A_fg = A_fA_g.

Согласно результатам пп. 3-5 множество линейных операторов после выбора базиса в L можно отождествить с множеством квадратных матриц M_n() порядка n = dim L над полем . Имеющиеся в обоих множествам структуры линейных пространств и колец при этом отождествлении согласованы. Биекциям, т. е. линейным автоморфизмам , отвечают обратимые матрицы: если f f ^{- 1} = id_L, то A_fA _-1 = E_n, так что A _-1 = A_f^-1. Напомним, что матрица A обратима, или невырождена тогда и только тогда, когда .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-