Матрица A называется матрицей перехода (от нештрихованного базиса к штрихованному), или от штрихованных координат к нештрихованным. Заметим, что она обратима: обратная матрица есть матрица перехода от штрихованного базиса к нештрихованному.

Заметим, что формулу можно было прочесть также как формулу, выражающую координаты старого вектора-столбца через координаты вектора , где f - линейное отображение , описанное матрицей A в базисе {e_k.

В физике эти две точки зрения называются соответственно "пассивной" и "активной". В первом случае мы описываем одно и то же состояние системы (вектор l) с точки зрения разных наблюдений (со своими системами координат). Во втором случае наблюдатель один, а состояние системы подвергается преобразованиям, состоящим, например, из симметрий пространства состояний этой системы.

в) Матрица линейного отображения в измененных базисах. В ситуации п. 3 выясним, как изменится матрица A_f линейного отображения, если перейти от базисов {e_k, к новым базисам , пространств N, M. Пусть B - матрица перехода от {e_k-координат к -координатам, а C - матрица перехода от -координат к -координатам. Мы утверждаем, что матрица отображения f в базисах , равна

В самом деле, вычисляя в базисах, имеем

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-