Его линейность проверяется непосредственно.

В этом доказательстве использовалась разность двух линейных отображений . Это частный случай следующей более общей конструкции.

4. Обозначим через множество линейных отображений из L в M. Для и определим af и f + g формулами

(af)(l) = a(f(l)), (f + g)(l) = f(l) + g(l)

для всех . Проверяется (по аналогии как делали ранее), что af и f + g линейны, так что - линейное пространство.

5. Пусть и . Теоретико-множественная композиция является линейным отображением. Действительно,

(gf)(l₁ + l₂) = g[f(l₁ + l₂)] = g[f(l₁) + f(l₂)] = g[f(l₁)] + g[f(l₂)] = gf(l₁) + gf(l₂)

и, аналогично, (gf)(al) = a(gf(l)).

Очевидно, id_M f = f id_L = f. Кроме того, h (gf) = (hg)f, когда обе части определены, так что скобки можно опустить; это общее свойство ассоциативности теоретико-множественных отображений. Наконец, композиция gf линейна по каждому из аргументов при фиксированном втором: например, g (af₁ + af₂) = a(g f₁) + b(g f₂).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-