Линейные отображения

1. Определение. Пусть L, M - линейные пространства над полем . Отображение называется линейным, если для всех имеем

f(al) = af(l), f(l₁ + f₂) = f(l₁) + f(l₂).

Линейное отображение является гомоморфизмом аддитивных групп. В самом деле, f(0) = 0f(0) = 0 и f(-l) = f((-1)l) = - f(l). Индукция по n показывает, что для любых , имеем .

Линейные отображения называют также линейными операторами на L.

2. Примеры. а) Нулевое линейное отображение , f(l) = 0 для всех . Тождественное линейное отображение: , f(l) = l для всех . Оно обозначается id_L или id. Умножение на скаляр , или гомотетия , f(l) = al для всех . При a = 0 получается нулевой оператор, при a = 1 - тождественный.

б) Линейные отображения - это линейные функции или функционалы, на L. Пусть L - пространство с базисом {e₁, ..., e_n. Для любого отображение , где eⁱ(l) - i-я координата l в базисе {e₁, ..., e_n, является линейным функционалом.

в) Пусть L = {x R | x > 0 наделено структурой линейного пространства над R, описанного ранее, M = R¹. Отображение , R-линейно.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-