Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
|
Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12. Теорема. Пусть L - конечномерное линейное пространство, dim Ker f + dim Im f = dim L. Доказательство. Ядро f конечномерно по следствию. Выберем базис {e1, ..., em в Ker f и продолжим его до базиса {e1, ..., em, em+1, ..., em+n пространства L по теореме. Покажем, что векторы f(em+1), ..., f(em+n) образуют базис в Im f. Отсюда очевидно, будет следовать теорема. Любой вектор из Im f имеет вид
Следовательно, f(em+1), ..., f(em+n) порождают Im f. Предположим, что 13. Следствие. Следующие свойства f равносильны (в случае конечномерного L): a) f инъективно. б) dim L = dim Im f. Доказательство. Согласно теореме, dim L = dim Im f тогда и только тогда, когда dim Ker f = 0, т. е. Ker f = {0. |
- линейное отображение. Тогда Ker f и Im f конечномерны и
. Тогда 
. Это значит, что 
Ker f, т. е. 
. Это возможно, только если все коэффициенты равны нулю, т. к. {e1, ..., em+n - базис L. Следовательно, векторы f(em+1), ..., f(em+n) линейно независимы. Теорема доказана.