Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
|
Линейные пространства и линейные отображения / Линейные отображения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6. Пусть f -1(m1 + m2) = f -1(m1) + f -1(m2), f -1(am1) = af -1(m1) для всех Написав формулы f(l1) + f(l2) = f(l1 + l2), af(l1) = f(al1), применив к их обеим частям f -1 и заменив в результате li на f -1(mi), получим требуемое. Биективные линейные отображения Следующая теорема показывает, что размерность пространства полностью определяет его с точностью до изоморфизма. 7. Теорема. Два конечномерных пространства L и M над полем Доказательство. Изоморфизм l: |
- биективное отображение. Тогда у него есть теоретико-множественное обратное отображение 
. Мы утверждаем, что f -1 автоматически линейно. Для этого следует проверить, что
; 
. Поскольку f биективно, существуют и однозначно определены такие векторы 
, что mi = f(li).
называются изоморфизмами. Пространства L и M называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм.
изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.
сохраняет все свойства, формулируемые в терминах линейных комбинаций. В частности, он переводит любой базис L в некоторый базис M, так что размерности L и M совпадают. (Из этого рассуждения следует также, что конечномерное пространство не может быть изоморфно бесконечномерному.)