г) Пусть - два множества. Отображение , которое всякой функции на T ставит в соответствие ее ограничение на S, линейно. В частности, если , то отображение: (значение f в точке s) линейно.

Конструкция линейных отображений с нужными свойствами часто основывается на следующем результате.

3. Предложение. Пусть L, M - линейные пространства над полем ; и - два семейства векторов с одинаковым числом элементов. Тогда:

а) если линейная оболочка {l₁, ..., l_n совпадает с L, то существует не больше одного линейного отображения , для которого f(l_i) = m_i при всех i;

б) если {l₁, ..., l_n к тому же линейно независимы, т. е. образуют базис L, то такое отображение существует.

Доказательство. Пусть f, f ' - пара отображений с f(l_i) = f '(l_i) = m_i для всех i. Рассмотрим отображение g = f - f ', где (f - f ')(l) = f(l) - f '(l). Легко проверить, что оно линейно. Кроме того, оно переводит в нуль все l_i и потому любую линейную комбинацию векторов l_i. Значит, f и f ' совпадают на каждом векторе из L, откуда f ' = f.

Пусть теперь {l₁, ..., l_n образует базис L. Так как каждый элемент L однозначно представляется в виде , мы можем определить теоретико-множественное отображение формулой

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-