Наоборот, пусть размерности L и M равны n. Выберем базисы {l₁, ..., l_n и {m₁, ..., m_n в L и M соответственно. Формула

определяет линейное отображение L в M по предложению п. 3. Оно является биекцией, ибо формула

определяет обратное линейное отображение f ^-1.

8. Предупреждение. Если даже изоморфизм между двумя линейными пространствами L, M и существует, он определен однозначно только в двух случаях:

a) L = M = {0,

a) L и M одномерны, а - поле из двух элементов.

Во всех остальных случаях имеется много (если бесконечно, то бесконечно много) изоморфизмов. В частности, имеется иного изоморфизмов пространства L с самим собой. В силу результатов п. 5 и 6 они образуют группу относительно теоретико-множественной композиции. Эта группа называеся полной линейной группой пространства L. Далее она будет описана в более явном виде, как группа невырожденных квадратных матриц.

Иногда бывает, что между двумя линейными пространствами определен некоторый изоморфизм, не зависящий ни от каких произвольных выборов. Такие изоморфизмы мы будем называть каноническими или естественными. Следует тщательно отличать естественые изоморфизмы от "случайных". Мы приведем два характерных примера, очень важных для понимания этого различия.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-