9. "Случайный" изоморфизм между пространством и двойственным к нему. Пусть L - конечномерное пространство с базисом {e₁, ..., e_n. Обозначим через линейный функционал

, где eⁱ(l) - i-я координата вектора l в базисе {e_i

(не путать с i-й степенью; в линейном пространстве она не определена). Мы утверждаем, что функционалы {e¹, ..., eⁿ образуют базис в L^*, так называемый двойственный к {e₁, ..., e_n базис. Равносильное описание {eⁱ такое: (символ Кронекера: 1 при i = k, 0 при ).

В самом деле, всякий линейный функционал можно представить в виде линейной комбинации {eⁱ:

Действительно, значения левой и правой части совпадают на любой линейной комбинации , потому что по определению eⁱ.

Кроме того, {e_i линейно независимы: если , то для всех k, , имеем .

Поэтому L и L^* имеют одинаковую размерность n и даже определен изоморфизм , который переводит e_i в eⁱ.

Однако этот изоморфизм не каноничен: замена базиса {e₁, ..., e_n, вообще говоря, меняет его. Так, если L одномерно, то для любого ненулевого вектора семейство {e₁ является базисом L. Пусть {e¹ - двойственный базис к {e₁, e¹(e₁) = 1. Тогда к базису , двойствен базис {a ^-1e¹. Но линейные отображения и различны, если только .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-