8. Линейные условия и линейные подпространства. В анализе прежде всего рассматриваются вещественнозначные функции, определенные на всем R или интервалах (a, b)R. Для большинства приложений, однако, пространство всех таких функций слишком велико: полезно рассматривать непрерывные или дифференцируемые функции. После введения соответствующих определений обычно доказывается, что сумма непрерывных функций непрерывна и произведение непрерывной функции на скаляр непрерывно; то же для дифференцируемости.

Это означает, что только непрерывные или только дифференцируемые функции сами по себе образуют линейное пространство.

Пусть L - линейное пространство над полем , а ML - его подмножество, которое является подгруппой и которое переходит в себя при умножении на скаляры. Тогда M вместе с операциями, индуцированными операциями в L (другими словами, ограничениями на M операций, определенных в L), называется линейным подпространством в L, а условия, определяющие принадлежность к M общего вектора из L, называются линейными условиями.

Вот пример линейных условий в координатном пространстве : фиксируем скаляры a₁, ..., a_n и определим ML:

     (1)

Объединение любого числа линейных условий также является линейным условием. Другими словами, пересечение любого числа линейных подпространств также является линейным подпространством. Далее будет приведено доказательство того, что в любое подпространство описывается конечным числом условий вида (1).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-