Следующие примеры линейных пространств будут постоянно встречаться в дальнейшем.

4. Нульмерное пространство. Это - абелева группа L = {0, состоящая из одного нуля. Единственно возможный закон умножения на скаляры: a0 = 0 для всех (убедитесь в справедливости аксиом!).

Предостережение: нульмерные пространства над разными полями - это разные пространства: задание поля входит в определение линейного пространства.

5. Основное поле как одномерное координатное пространство. Здесь L = , сложение - это сложение в , умножение на скаляры - это умножение в . Справедливость аксиом линейного пространства следует из аксиом поля.

Обобщим, если имеется поле K и его подполе , то K можно рассматривать как линейное пространство над . Например, поле комплексных чисел C является линейным пространством над полем вещественных чисел R, которое в свою очередь является линейным пространством над полем рациональных чисел Q.

6. n-мерное координатное пространство. Положим (декартово произведение множителей). Элементы L можно записывать в виде строк , или столбцов высоты n. Определим сложение и умножение на скаляр формулами:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-