Линейные пространства

1. Векторы с началом в выбранной точке пространства можно умножать на числа и складывать по правилу параллелограмма. Это - классическая модель законов сложения перемещений, скоростей, сил в механике. в общем определении векторного, или линейного пространства вещественные числа заменяются произвольным полем, а простейшие свойства сложения и умножения векторов постулируются в качестве аксиом. Никаких следов "трехмерности" физического пространства в определении не остается. Понятие размерности вводится и изучается отдельно.

Из курса аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве известно много примеров геометрической интерпретации алгебраических соотношений между двумя или тремя переменными.

2. Определение. Линейным (или векторным) пространством L над полем называется множество, снабженное бинарной операцией , обычно обозначаемой как сложение: , и внешней бинарной операцией , обычно обозначаемой как умножение: , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

a) Сложение элементов L, или векторов, превращает L в коммутативную (абелеву) группу. Её нулевой элемент обычно обозначается 0; элемент, обратный к l, обычно обозначается -l.

б) Умножение векторов на элементы поля , или скаляры, унитарно, т. е. 1l = l для всех l, и ассоциативно, т. е. для всех .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-