Аффинные группы

1. Пусть A - аффинное пространство над полем . Множество аффинных биективных отображений в силу предложения п. 10 образует группу, которую будем называть аффинной группой и обозначать Aff A.

Ее отображение , где GL(L) - группа линейных автоморфизмов ассоциированного векторного пространства, является гомоморфизмом. Он сюръективен по предложению п. 11 и имеет своим ядром группу сдвигов по следствию п. 13. Эта группа сдвигов изоморфна аддитивной группе пространства L по предложению п. 4. Таким образом, Aff A есть расширение группы GL(L) с помощью аддитивной группы L, которая является нормальным делителем в Aff A.

Это расширение является полупрямым произведением GL(L) и L. Чтобы убедиться в этом, фиксируем любую точку и рассмотрим подгруппу , состоящую из отображений, оставляющих a на месте. По предложению п. 11 каждый элемент однозначно определяется своей линейной частью Df, и Df можно выбирать как угодно. Следовательно, D индуцирует изоморфизм G_a с GL(L). Для любого отображения можно найти единственное отображение с той же линейной частью, и для подходящего по следствию п. 13. Фиксировав a, будем записывать в виде пары [g; l], где . Правила умножения в группе Aff A на языке таких пар имеют следующий вид.

2. Предложение. Имеем

[g₁; l₁][g₂; l₂] = [g₁g₂; g₁(l₂) + l₁],

[g; l] ^-1 = [g ^-1; -g ^-1(l)].

-1-2-3-4-5-6-7-