б) Движением аффинного евклидова пространства A называется произвольное отображение , сохраняющее расстояния: d(f(a), f(b)) = d(a, b) для всех .

5. Теорема. Движения аффинного евклидова пространства A образуют группу, совпадающую с аффинным расширением группы ортогональных изометрий O(L) ассоциированного с A евклидова пространства L.

Доказательство. Проверим сначала, что любое аффинное отображение с является движением. В самом деле, согласно определениям

d(f(a), f(b)) = |f(a) - f(b)| = |Df(a - b)| = |a - b| = d(a, b);

в третьем равенстве мы воспользовались тем, что .

Основная работа связана с доказательством обратного утверждения.

Прежде всего, очевидно, что композиция движений есть движение. Далее, уже установили, что сдвиги являются движениями. Пусть - произвольная фиксированная точка, f - движение. Положим . Это движение, оставляющее точку a на месте. Достаточно доказать, что оно аффинное и что . Отождествим A с L, как в п. 12, с помощью отображения с тождественной линейной частью, переводящего a в . Тогда g превратится в отображение со свойствами g(0) = 0 и |g(l) - g(m)| = |l - m| для всех , и достаточно установить что такое отображение лежит в O(L).

-1-2-3-4-5-6-7-