Доказательство. Согласно определениям [g; l] переводит точку в a + g(m) + l, откуда

[g₁; l₁][g₂; l₂](a + m) = [g₁; l₁](a + g₁(m) + l₁) =

= a + g₁(g₂(m) + l₂) + l₁ = a + g₁g₂(m) + g₁(l₂) + l₁ = [g₁g₂; g₁(l₂) + l₁](a + m),

что доказывает первую формулу. Вычисляя с ее помощью произведение [g; l][g ^-1; -g ^-1(l)], получаем [id_L; 0]; а эта пара представляет тождественный элемент Aff A. Это завершает доказательство предложения и показывает, что Aff A - полупрямое произведение.

3. Пусть теперь - некоторая подгруппа. Множество всех элементов , линейные части которых принадлежат G, очевидно, образуют подгруппу в Aff A - прообраз G относительно канонического гомоморфизма . Будем называть ее аффинным расширением группы G.

Особенно важен случай, когда ассоциированное с A линейное пространство снабжено дополнительной структурой - скалярным произведением, а G представляет собой соответствующую группу изометрий. Так строятся две важные в приложениях группы: группа движений аффинного евклидова пространства (G = O(n)) и группа Пуанкаре (L - пространство Минковского, G - группа Лоренца). Изучим подробнее группу движений.

4. Определение. а) Аффинным евклидовым пространством называется пара, состоящая из аффинного конечномерного пространства A над полем вещественных чисел и метрики d на нем (в смысле определения п. 1), которая обладает следующим свойством: для любых точек расстояние d(a, b) зависит только от и совпадает с длиной вектора a - b в подходящей евклидовой метрике пространства L (не зависящей от a, b).

-1-2-3-4-5-6-7-