Движения f со свойством det Df = 1 называются иногда собственными движениями, а остальные (с det Df = -1) - несобственными. Представим более наглядно информацию о движениях аффинных евклидовых пространств размерности , содержащуюся в теореме п. 6. В следующем пункте сохранены обозначения этой теоремы.

7. Примеры. а) n = 1. Поскольку , собственные движения состоят только из сдвигов. Если f несобственное, то Df = -1, и из Df(l) = i следует, что l = 0. Поэтому всякое несобственное движение прямой имеет неподвижную точку и, стало быть, является отражением относительно этой точки.

б) n = 2. Собственное движение f с Df = id является сдвигом; если и det Df = 1, то Df, будучи вращением, не имеет неподвижных векторов, так что снова l = 0 и f имеет неподвижную точку, относительно которой f является вращением.

Если f - несобственное движение, то Df есть отражение плоскости относительно прямой, а f есть комбинация такого отражения и сдвига вдоль этой прямой. Значит, если несобственное движение плоскости имеет неподвижную точку, то оно имеет целую прямую неподвижных точек и представляет собой отражение относительно этой прямой.

в) n = 3. Если det Df = 1, то Df всегда имеет собственное значение единица и неподвижный вектор. Поэтому все собственные движения трехмерного евклидова пространства являются винтовыми движениями вдоль некоторой оси (включая сдвиги, т. е. вырожденные винтовые движения с нулевым поворотом). Это - так называемая теорема Шарля.

Если движение f = t_lg несобственное и , то ограничение g на плоскость, ортогональную к l и проходящую через неподвижную точку a, есть несобственное движение этой плоскости. Поэтому оно является отражением относительно прямой в этой плоскости. Обозначим через P плоскость, натянутую на l и на эту прямую. Тогда t_lg есть комбинация отражения относительно плоскости P и сдвига на вектор l, лежащий в P.

-1-2-3-4-5-6-7-