Наконец, если l = 0, т. е. f несобственное и имеет неподвижную точку, то, отождествляя ее с нулем в L, а f с Df и пользуясь существованием у f собственной прямой L₀ с собственным значением минус единица, получаем геометрическое описание f как композиции вращения в и отражения относительно .

Пользуясь полярным разложением линейных операторов, можем также разобраться в геометрической структуре любого обратимого аффинного преобразования евклидова аффинного пространства.

8. Теорема. Всякое аффинное преобразование n-мерного евклидова пространства f может быть представлено в виде композиции трех отображений: а) n растяжений (с положительными коэффициентами) вдоль n попарно ортогональных осей, проходящих через некоторую точку ; б) движения, оставляющего неподвижным точку a₀; в) сдвига.

Доказательство. Заменив f его композицией с подходящим сдвигом, как в доказательстве теоремы п. 5, можем считать, что уже f имеет неподвижную точку a₀. Отождествив A с L и a₀ с нулем, можем разложить f = Df в композицию положительно определенного симметрического оператора и ортогонального оператора. Приведя первый из них к главным осям и перенеся эти оси в A, получим требуемое.

9. Заметим в заключение, что в этом параграфе мы широко пользовались линейными подмногообразиями в A (прямыми, плоскостями), определяя их конструктивно как прообразы линейных пространств в L при разных отождествлениях A с L, зависящих от выбора начала координат. Следующий параграф посвящен более систематическому исследованию связанных с этим понятий.

-1-2-3-4-5-6-7-