Проверим прежде всего, что g сохраняет скалярные произведения. Действительно, для любых

|l|² - 2(l, m) + |m|² = |l - m|² = |g(l) - g(m)|² =

= |g(l)|² - 2(g(l), g(m)) + |g(m)|²,

откуда следует требуемое, т. к. |g(l)|² = |l|², |g(m)|² = |m|². Теперь покажем, что g аддитивно: g(l + m) = g(l) + g(m). Положив l + m = n и воспользовавшись предыдущим свойством, имеем

0 = |n - l - m|² = |n|² + |l|² + |m|² - 2(n, l) - 2(n, m) + 2(l, m) =

= |g(n)|² + |g(l)|² + |g(m)|² - 2(g(n), g(l)) - 2(g(n), g(m)) +)

+ 2(g(l), g(m)) = |g(n) - g(l) - g(m)|²,

откуда g(n) = g(l) + g(m).

Наконец, покажем, что g(xl) = xg(l) для всех . Полагая m = xl, имеем

0 = |m - xl|² = |m|² - 2x(m, l) + x²|l|² =

= |g(m)|² - 2x(g(m), g(l)) + x²|g(l)|² = |g(m) - xg(l)|².

Итак, g - линейное отображение, сохраняющее скалярные произведения, т. е. . Теорема доказана.

-1-2-3-4-5-6-7-