6. Теорема. Пусть - движение евклидова аффинного пространства с линейной частью Df. Тогда существует такой вектор , что Df(l) = l и , где - движение, имеющее неподвижную точку .

Доказательство. Прежде всего, выясним геометрический смысл этого утверждения. Отождествив A с L посредством аффинного отображения с тождественной линейной частью, которое переводит a в 0, мы получаем, что f является композицией ортогонального преобразования g и сдвига на вектор l, неподвижный относительно g (т. к. Df = Dg). Иными словами, это "винтовое движение", если det g = 1, или винтовое движение, скомбинированное с отражением, если det g = -1. В самом деле, g вполне определяется своим ограничением g₀ на , так что g есть вращение вокруг оси Rl (возможно, с отражением).

Приступим теперь к доказательству. Положим . Имеем состоит из Df-инвариантных векторов, пространство L₁ инвариантно относительно Df - id_L (т. к. Df ортогонален), и ограничение Df - id_L на L₁ обратимо.

Выберем сначала произвольную точку и положим . Очевидно, g'(a') = a'. Положим f(a') - a' = l₁ + l₂, где , тогда и Df(l₂) = l₂ по определению. Покажем, что имеет неподвижную точку a = a' + m для некоторого . Имеем

Правая часть равна a' + m тогда и только тогда, когда (Df - id_L)m + l₁ = 0. Но, как мы уже отмечали, на L₁ оператор Df - id_L обратим и . Поэтому m существует. Мы получили требуемое разложение и завершили доказательство.

-1-2-3-4-5-6-7-