Тогда коммутативная диаграмма в C

отвечает коммутативной диаграмме в

(Ковариантный) функтор можно отождествить с контравариантным функтором в смысле данного выше определения.

6. Примеры. а) Пусть - поле, - категория линейных пространств над , Set - категория множеств. В разделе Линейные пространства приводится объяснение, как любому множеству S Ob Set поставить в соответствие линейное пространство F(S) Ob функций на S со значениями в . Поскольку это естественная конструкция, следует ожидать, что она может быть продолжена до функтора. Так оно и есть. Функтор оказывается контравариантным морфизму он ставит в соответствие линейное отображение , чаще обозначаемое f^* и называемое подъемом, или обратным образом, на функциях:

, где , .

Другими словами, - это функция на S, значения которой постоянны вдоль "слоев" f ^-1(t) отображения f и равны на таком слое. В качестве упражнения - проверить, что действительно построили функтор.

б) Отображение двойственности , на объектах задаваемое формулой , а на морфизмах - формулой , является контравариантным функтором из категории в себя. По существу, это доказано в разделе Двойственность.

-1-2-3-4-5-6-7-8-