е) Композиция морфизмов ассоциативна.

ж) Для каждого объекта X существует тождественный морфизм такой, что всякий раз, когда эти композиции определены. Нетрудно видеть, что такой морфизм единственен: если - другой морфизм с тем же свойством, то .

Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что gf = id_X, fg = id_Y.

2. Примеры. а) Категория множеств Set. Ее объекты - множества, морфизмы - отображения множеств.

б) Категория линейных пространств над полем . Ее объекты - линейные пространства, морфизмы - линейные отображения.

в) Категория групп.

г) Категория абелевых групп.

Различия между классом и множеством обсуждаются в аксиоматической теории множеств и связаны с необходимостью избежать знаменитого парадокса Рассела. Не всякое собирание объектов воедино образует множество, так как понятие "множество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента", противоречиво. В аксиоматике Гёдела-Бернайса такие собрания множеств называются классами. Техника теорий категорий требует собираний объектов, лежащих в опасной близости к таким парадоксальным ситуациям. Будем пренебрегать этими тонкостями.

-1-2-3-4-5-6-7-8-