в) Операции комплексификации и овеществления определяют функторы и соответственно. То же относится к более общим конструкциям подъема и спуска поля скаляров.

г) Для любой категории C и любого объекта X Ob C определены два функтора из C в категорию множеств: ковариантный и контравариантный .

Вот их определения: есть отображение , которое ставит в соответствие морфизму его композицию с морфизмом .

Аналогично, и есть отображение , которое ставит в соответствие морфизму его композицию с морфизмом .

Проверьте, что h_X и h^X действительно являются функторами. Их называют функторами, представляющими объект X категории.

Заметим, что если C = , то h^X и h_X можно считать функторами со значениями также в , а не в Set.

7. Композиция функторов. Если - три категории и два функтора между ними, то композиция определяется как теоретико-множественная композиция отображений на объектах и морфизмах. Тривиально проверяется, что она является функтором.

Можно ввести "категорию категорий", объектами которой являются категории, а морфизмами - функторы!

Более важной является следующая ступень этой высокой лестницы абстракций: категория функторов. Ограничимся объяснением, что такое морфизмы функторов.

-1-2-3-4-5-6-7-8-