4. Естественные конструкции и функторы. В математике весьма важны конструкции, которые можно применять к объектам некоторой категории так, что при этом снова получаются объекты категории (другой или той же самой). Если эти конструкции являются однозначными (не зависят от произвольных выборов) и универсально применимы, то часто оказывается, что они переносятся и на морфизмы. Аксиоматизация ряда примеров привела к важному понятию функтора, впрочем, естественному и с чисто категорной точки зрения.

5. Определение функтора. Пусть C, D - две категории. Функтором F из категории C в категорию D называется задание двух отображений (обычно обозначаемых также F): Ob C Ob D, Mor C Mor D, которые удовлетворяют следующим условиям:

а) если , то ;

б) F(gf) = F(g)F(f) всякий раз, когда композиция gf определена, и F(id_X) = id_F(X) для всех X Ob C.

Функторы, которые мы определили, часто называют ковариантными функторами. Определяют также контравариантные функторы, "обращающие стрелки": для них условия а) и б) заменяются условиями

а') если , то ;

б') F(gf) = F(f)F(g) и F(id_X) = id_F(X).

Можно избежать этого различения, если ввести конструкцию, ставящую в соответствие каждой категории C дуальную категорию по правилу: Ob C = Ob , Mor C = Mor и , причем композиции gf морфизмов в C отвечает композиции fg этих же морфизмов в , взятых в обратном порядке. Удобно обозначать через , объекты и морфизмы в , отвечающие объектам и морфизмам X, f в C.

-1-2-3-4-5-6-7-8-