Двойственность

Теория двойственности получила свое название благодаря тому, что она выявляет ряд свойств "двусторонней симметрии" линейных пространств, довольно трудных для наглядного воображения, но совершенно фундаментальных. Достаточно сказать, что дуализм "волна - частица" в квантовой механике адекватно выражается именно на языке линейной двойственности бесконечномерных линейных пространств (точнее, соединения линейной и групповой двойственности в технике анализа Фурье).

1. Симметрия между L и L^*. Пусть . Вместо f(l) мы будем писать (f, l) (в знак аналогии со скалярным произведением - но векторов из разных пространств!). Таким образом, мы определили отображение . Оно линейно по каждому из двух аргументов f, l при фиксированном втором:

(f₁ + f₂, l) = (f₁, l) + (f₂, l), (af₁, l) = a(f₁, l),

(f , l₁ + l₂) = (f, l₁) + (f, l₂), (f, al₁) = a(f, l₁).

Вообще, отображения с таким свойством называются билинейными, а также спариваниями между пространствами L и M. Введенное выше спаривание между L и L^* называется каноническим.

Отображение из п. 10, как видно из его определения, можно задать условием:

где слева стоит символ спаривания между L^** и L^*, а справа - между L^* и L. Если , так что является изоморфизмом, и мы условимся отождествлять L^** и L посредством , эта формула приобретает симметричный вид (l, f) = (f, l). Иными словами, мы можем также рассматривать L как пространство, двойственное к L^*.

-1-2-3-4-5-