а) Имеется канонический изоморфизм . Строится он так: многообразию ставится в соответствие ограничение функционала l^* на M. От выбора l^* оно не зависит, т. к. ограничения функционалов из на M нулевые. Линейность этого отображения очевидна. Оно сюръективно, т. к. всякий линейный функционал на M продолжается до некоторого функционала на L.

В самом деле, пусть {e₁, ..., e_m - базис в M, {e₁, ..., e_m, e_m+1, ..., e_n - его продолжение до базиса L. Функционал f на M, заданный значениями f(e₁), ..., f(e_n), продолжается на L, например, если положить f(e_m+1) = ... = f(e_n) = 0.

Наконец, построенное отображение инъективно. В самом деле, у него нулевое ядро: если ограничение l^* на M равно нулю, то и - нулевой элемент из .

б) dim M + dim = dim L. Действительно, это следует из предыдущего утверждения, следствия п.6 и того, что dim L^* = dim L, dim M^* = dim M.

в) При каноническом отождествлении L^** с L пространство совпадает с M.

Действительно, так как (m^*, m) = 0 для всех m^* и данного , ясно, что . Но, кроме того, по предыдущему свойству, примененному дважды,

Значит, .

г)

Доказательство - в качестве упражнения.

-1-2-3-4-5-