Основные свойства сопряженных отображений собраны в следующей теореме:

4. Теорема. а) (f + g)^* = f^* + g^*;

б) (af)^* = af^*; здесь и ;

в) (fg)^* = g^*f^*; здесь ;

г) id^* = id, 0^* = 0;

д) если канонически отождествить L^** с L и M^** с M, то отождествляется с .

Доказательство. Если считать, что L и M конечномерны, то проще всего проверить все эти утверждения, представив f, g матрицами в двойственных базисах и воспользовавшись простыми свойствами операции транспонирования:

(aA + bB)^t = aA^t + bB^t, (AB)^t = B^tA^t, E^t = E, 0^t = 0, (A^t)^t = 0.

Инвариантная проверка - в качестве упражнения.

5. Двойственность между подпространствами в L и в L^*. Пусть - некоторое линейное подпространство. Обозначим через и будем называть ортогональным дополнением к M множество функционалов, обращающихся в нуль на M. Другими словами,

для всех .

Легко видеть, что является линейным пространством. В следующих утверждениях собраны основные свойства этой конструкции (L предполагается конечномерным).

-1-2-3-4-5-