Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
|
Линейные пространства и линейные отображения / Двойственность / 1 2 3 4 5
3. Двойственное, или сопряженное отображение. Пусть (f*(m*), l) = (m*, f(l)) для любых векторов а) Единственность f*. Пусть б) Существование f*. Фиксируем
следует из линейности (m*, f(l)), по m*. Значит f* - линейное отображение. Пусть в L, M выбраны некоторые базисы, а в L*, M* - двойственные базисы. Пусть f в этих базисах представлено матрицей A. Утверждаем, что f* в двойственных базисах представлено транспонированной матрицей At. В самом деле, пусть B - матрица f*. Согласно определениям и п. 2 имеем, обозначив вектор-столбцы координат m*, l через
Из ассоциативности умножения матриц и единственности f* следует, что A = Bt, т. е. B = At. |
- линейное отображение линейных пространств. Покажем, что существует единственное линейное отображение 
, которое удовлетворяет условию
, 
.
- два таких отображения. Тогда 
для всех 
, откуда следует что 
. Фиксируем m* и будем менять l. Тогда элемент 
как линейный функционал на L принимает только нулевые значения и, значит, равен нулю. Поэтому 
и рассмотрим выражение (m*, f(l)) как функцию на L. В силу линейности f и билинейности (,) эта функция линейна. Значит, она принадлежит L*. Обозначим ее через f*(m*). Равенства
,
