Под "углами" между "прямыми" неевклидовой геометрии Римана будем понимать углы между отвечающими этим "прямым" большими окружностями сферы. "Окружность" с центром Q и радиусом ρ естественно определить как множество "точек", удаленных от Q на "расстояние" ρ: на сфере она изображается малой окружностью (точнее, парой диаметрально противоположных малых окружностей, Рис. 7). "Движения" неевклидовой геометрии Римана можно описать как вращения сферы: так как каждое вращение сферы переводит две ее диаметрально противоположные точки снова в диаметрально противоположные точки, то "движение" представляет собой "точечное" преобразование плоскости Римана, переводящее каждую ее "точку" снова в "точку".

     Плоскость Римана можно также представлять себе как полусферу, склеенную весьма своеобразным образом - так, чтобы совпали диаметрально противоположные точки ограничивающей ее окружности (см. Рис. 8).

     Введем теперь в пространстве прямоугольные координаты x, y, z с началом в центре рассматриваемой сферы. Для этого проведем через центр O сферы три взаимно перпендикулярные плоскости, например горизонтальную и две вертикальные (см. Рис. 9), и условимся характеризовать каждую точку пространства тремя числами x, y, z, абсолютные величины которых равны расстояниям этой точки от указанных плоскостей, а знаки положительны для точек, расположенных по одну сторону от соответственной плоскости, и отрицательны по другую сторону от этой плоскости.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-