Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Неевклидовы геометрии / Неевклидова геометрия Римана / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Последний факт показывает, что плоскости неевклидова пространства Римана находятся во взаимно однозначном соответствии с его точками - полюсами этих плоскостей, причем углы между плоскостями равны расстояниям между соответствующими точками. Таким образом, плоскости неевклидова пространства Римана, если считать углы между ними расстояниями, образуют модель того же пространства; отсюда естественно вытекает, что и в пространственной неевклидовой геометрии Римана имеет место своеобразный принцип двойственности. Общий перпендикуляр двух плоскостей и линия их пересечения называются взаимными полярами; каждая из этих двух прямых является множеством всех точек, отстоящих одна от другой на расстоянии πr/2; полюс всякой плоскости, проходящей через одну из этих прямых, лежит на другой из них. Отсюда вытекает, что всякий перпендикуляр к прямой пересекается с ее полярой, а общий перпендикуляр двух прямых пересекается с полярами обеих этих прямых. Из свойств двумерных плоскостей четырехмерного пространства следует, что две прямые неевклидова пространства Римана в общем случае обладают двумя общими перпендикулярами, на одном из которых осуществляется максимальное, а на другом - минимальное расстояние между ними; в том же случае, если эти расстояния равны, прямые обладают бесконечным множеством общих перпендикуляров равной длины. В последнем случае прямые называются паратактичными. Через каждую точку A пространства, не лежащую на прямой a и на ее поляре, можно провести две прямые, паратактичные к данной прямой a (см. Рис. 20): если AP - перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a, b - поляра этого перпендикуляра, пересекающаяся с прямой A в точке Q, а B и C - такие точки прямой b, что расстояния BQ и CQ равны расстоянию ω = AP, то искомые прямые AB и AC; нетрудно видеть, что угол BAC равен углу 2ω/r. Множество всех точек, отстоящих от прямой a на расстоянии ρ < πr/2, является поверхностью второго порядка, прямолинейные образующие которой паратактичны прямой a и ее поляре a' (см. Рис. 21); каждая пара прямолинейных образующих разных семейств пересекается под одним и тем же углом 2ω/r.

Замечательным свойством этой поверхности, открытой английским геометром В. К. Клиффордом, является то, что на ней господствует евклидова геометрия: поверхность Клиффорда изометрична евклидову ромбу с острым углом 2ω/r и стороной πr, у которого отождествлены точки противоположных сторон, соединяемые прямыми, параллельными другим сторонам (см. Рис. 22).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, определитель , выпуклое множество

     Взаимные поляры, бесконечное множество общих перпендикуляров, паратактичные прямые.