Последний факт показывает, что плоскости неевклидова пространства Римана находятся во взаимно однозначном соответствии с его точками - полюсами этих плоскостей, причем углы между плоскостями равны расстояниям между соответствующими точками. Таким образом, плоскости неевклидова пространства Римана, если считать углы между ними расстояниями, образуют модель того же пространства; отсюда естественно вытекает, что и в пространственной неевклидовой геометрии Римана имеет место своеобразный принцип двойственности. Общий перпендикуляр двух плоскостей и линия их пересечения называются взаимными полярами; каждая из этих двух прямых является множеством всех точек, отстоящих одна от другой на расстоянии πr/2; полюс всякой плоскости, проходящей через одну из этих прямых, лежит на другой из них. Отсюда вытекает, что всякий перпендикуляр к прямой пересекается с ее полярой, а общий перпендикуляр двух прямых пересекается с полярами обеих этих прямых. Из свойств двумерных плоскостей четырехмерного пространства следует, что две прямые неевклидова пространства Римана в общем случае обладают двумя общими перпендикулярами, на одном из которых осуществляется максимальное, а на другом - минимальное расстояние между ними; в том же случае, если эти расстояния равны, прямые обладают бесконечным множеством общих перпендикуляров равной длины. В последнем случае прямые называются паратактичными. Через каждую точку A пространства, не лежащую на прямой a и на ее поляре, можно провести две прямые, паратактичные к данной прямой a (см. Рис. 20): если AP - перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a, b - поляра этого перпендикуляра, пересекающаяся с прямой A в точке Q, а B и C - такие точки прямой b, что расстояния BQ и CQ равны расстоянию ω = AP, то искомые прямые AB и AC; нетрудно видеть, что угол BAC равен углу 2ω/r. Множество всех точек, отстоящих от прямой a на расстоянии ρ < πr/2, является поверхностью второго порядка, прямолинейные образующие которой паратактичны прямой a и ее поляре a' (см. Рис. 21); каждая пара прямолинейных образующих разных семейств пересекается под одним и тем же углом 2ω/r.

Замечательным свойством этой поверхности, открытой английским геометром В. К. Клиффордом, является то, что на ней господствует евклидова геометрия: поверхность Клиффорда изометрична евклидову ромбу с острым углом 2ω/r и стороной πr, у которого отождествлены точки противоположных сторон, соединяемые прямыми, параллельными другим сторонам (см. Рис. 22).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-