Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Неевклидовы геометрии / Неевклидова геометрия Римана / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


     Роль окружностей в сферической геометрии играют так называемые малые окружности, т. е. сечения сферы плоскостями, не проходящими через ее центр. Ясно, что любую окружность (и большую и малую) можно в сферической геометрии определить как множество точек, удаленных от фиксированной точки Q на постоянное расстояние ρ; точка Q называется при этом центром (или полюсом) окружности, а расстояние ρ - ее радиусом. У каждой окружности на сфере имеются два полюса Q1, Q2 (являющихся диаметрально противоположными точками сферы, Рис. 3) и соответственно этому два радиуса ρ1, ρ2. Если эти радиусы различны, то имеем малую окружность, если же они совпадают (и равны πr/2), то - большую окружность.

     Большие и малые окружности сферы аналогичны прямым и окружностям на плоскости еще и в том отношении, что существуют движения сферы (повороты, Рис. 4), переводящие их в себя. Из этого ясно, что большие и малые окружности являются "однородными" линиями, т. е. во всех своих точках они устроены совершенно одинаково.

     Однако между геометрией на сфере и геометрией на плоскости имеется и одно существенное различие. Мы знаем, что через каждые две точки плоскости проходит единственная прямая линия; другими словами, никакие две прямые не могут пересечься в двух точках. В противоположность этому каждые две большие окружности сферы пересекаются в двух (диаметрально противоположных) точках. Это обстоятельство резко отличает сферическую геометрию как от евклидовой геометрии, так и от неевклидовой геометрии Лобачевского. Для того чтобы устранить его, условимся называть "точкой" сразу пару диаметрально противоположных точек сферы. Полученный геометрический образ - сферу, понимаемую как множество пар диаметрально противоположных точек, - мы и назовем неевклидовой плоскостью Римана. Под "прямыми" неевклидовой геометрии Римана будем понимать большие окружности сферы (рассматриваемые как множество пар диаметрально противоположных точек). Условимся, далее, принимать за "расстояние" между двумя "точками" A и B плоскости Римана (не превосходящее четверти большой окружности) расстояние между соответствующими им точками сферы (так что расстояние между "точками", изображаемыми имеющимися на Рис. 5 парами A, A1 и B, B1, равно дугам AB или A1B1, но не AB1!). При таком определении полная длина "прямой" будет равна πr, но не 2πr (т. к., пройдя по "прямой" путь AA1, равный πr, придем к "точке" A1, совпадающей с исходной "точкой" A, Рис. 6).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, производная , бимодальное распределение

     Неевклидова плоскость Римана, малые окружности, сечения сферы плоскостями, центр (или полюс) окружности, прямые неевклидовой геометрии Римана.