До сих пор мы больше говорили о тех теоремах неевклидовой геометрии Римана, которые аналогичны известным теоремам евклидовой геометрии. Для того чтобы дать представление о различии этих двух геометрий, остановимся на вопросе о площади многоугольника в неевклидовой геометрии Римана. Вспомним прежде всего, что в этой геометрии сумма углов треугольника всегда больше π. Отсюда можно вывести, что сумма углов n-угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше (n - 2)π. В самом деле, каждый n-угольник можно разбить на n - 2 треугольников непересекающимися диагоналями (это относится как к неевклидовой геометрии Римана, так и к обычной геометрии Евклида и, разумеется, нуждается в доказательстве, которое здесь опускаем; случай n = 7 изображен на Рис. 14).

При этом сумма углов n-угольника равна сумме всех углов всех n - 2 треугольников; отсюда и вытекает, что сумма углов n-угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше (n - 2)π. (Из аналогичных соображений вытекает, что в евклидовой геометрии сумма углов любого, может быть невыпуклого, n-угольника равна (n - 2)π.)

     Задача измерения площадей состоит в том, чтобы сопоставить каждому многоугольнику M некоторое число S(M) - площадь этого многоугольника - с соблюдением следующих требований:

     а) положительность: для любого многоугольника M (содержащего внутренние точки) S(M) > 0;

     б) инвариантность: если многоугольники M₁ и M₂ равны, то S(M₁) = S(M₂);

     в) аддитивность: если многоугольник M разбит на неперекрывающиеся части M₁ и M₂, то S(M) = S(M₁) + S(M₂);

     г) нормировка: для многоугольника M₀, признанного "единичным", S(M₀) = 1 (разумеется, все сказанное одинаково относится как к геометрии Евклида, так и к неевклидовой геометрии Римана^*).

^*   Такое (аксиоматическое) определение площади является осмысленным лишь в том случае, если действительно существует функция S, сопоставляющая каждому многоугольнику M число S(M) с указаными свойствами, и притом такая функция имеется лишь одна (т. е. указанные свойства а) - г) определяют функцию S однозначно). В неевклидовой геометрии Римана также существует теорема о том, что условия а) - г) однозначно определяет функцию S (площадь), но доказательство ее здесь не приводим. Впрочем, существование функции S будет ясно из дальнейшего, т. к. мы укажем величину (угловой избыток), удовлетворяющую условиям а) - г). Единственность же позволит утверждать, что указанная величина (угловой избыток) как раз и является площадью, поскольку, кроме нее, не существует никакой другой функции, удовлетворяющей условиям а) - г). Таким образом, единственность является важным элементом при построении теории площадей, и если мы опускаем здесь доказательство единственности, то не из-за его малой значимости, а лишь из-за нежелания перегружать статью.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-