Формула (3) вытекает теперь из того, что (поскольку вектор имеет координаты x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁), а формула (4) - из того, что (поскольку векторы и имеют координаты x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂).

     Если M₁ и M₂ - точки нашей сферы, то обычное расстояние между ними измеряется по формуле (3). Расстояние же ω между этими точками, измеренное по большой окружности сферы, в соответствии с соглашениями, принятыми в сферической геометрии, равно углу φ между отрезками OM₁ и OM₂, умноженному на радиус r сферы; поэтому, согласно соотношениям (2) и (4), это расстояние вычисляется по формуле

     (5)

     Для определения "расстояния" между двумя "точками" M₁ и M₂ неевклидовой геометрии Римана можно воспользоваться той же формулой (5), где только надо учесть, что если ω окажется больше πr/2 (т. е. если угол φ будет тупым), то одну из точек M₁, M₂ надо будет заменить центрально-симметричной (т. е. изменить знаки у чисел x₁, y₁, z₁ или у чисел x₂, y₂, z₂). Отсюда получаем следующую формулу для "расстояния" между двумя "точками" неевклидовой плоскости Римана:

     (6)

     Основные понятия неевклидовой геометрии Римана. Принцип двойственности. Далее будем говорить лишь о неевклидовой геометрии Римана, в соответствии с чем откажемся от кавычек, указывающих на образы этой геометрии. При этом будем все время иметь в виду тесную связь рассматриваемой геометрии со сферической, позволяющую выводить все теоремы неевклидовой геометрии Римана из известных факторов сферической геометрии.

     Мы не ставим перед собой задачи дать полный перечень аксиом геометрии Римана. Укажем только, что основная аксиома "через всякие две точки можно провести прямую и притом только одну" евклидовой геометрии сохраняет силу и в геометрии Римана; но наряду с ней здесь имеет место также и аксиома "всякие две прямые пересекаются в точке и притом только в одной" (на сфере всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, но после отождествления диаметрально противоположных точек эти две точки превращаются в одну). Из этой аксиомы вытекает, что на неевклидовой плоскости Римана выполняется V постулат Евклида: если на этой плоскости пересекаются всякие две прямые, то в том числе пересекаются и прямые, удовлетворяющие условию V постулата^*. Однако на неевклидовой плоскости Римана не выполняются аксиомы порядка евклидовой плоскости, так как в случае неевклидовой плоскости Римана каждую из трех точек прямой можно считать лежащей между двумя другими, подобно тому как это имеет место для трех точек евклидовой окружности. По этой причине на неевклидовой плоскости Римана не проходит приведенное выше доказательство теоремы Лежандра о том, что сумма углов треугольника не превосходит 180°. Напротив, из того, что сумма углов сферического треугольника больше 180° вытекает, что сумма углов любого треугольника на неевклидовой плоскости Римана больше 180°. Поэтому утверждение Лежандра о том, что V постулат эквивалентен предположению о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам, справедливо только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида - на неевклидовой плоскости Римана, на которой V постулат выполняется, но не выполняются аксиомы порядка геометрии Евклида, эти утверждения уже не эквивалентны.

^*   Впрочем, заключительная часть V постулата, указывающая, по какую сторону от секущей пересекутся две встречающие ее прямые, в неевклидовой геометрии Римана теряет смысл, поскольку прямая не разбивает неевклидовой плоскости Римана на две части.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-