Очень просто указать число, удовлетворяющее наиболее важным условиям б) и в), - в качестве него можно взять угловой избыток (эксцесс) в (M) рассматриваемого n-угольника M, т. е. превышение суммы его углов над (n - 2)π:

ε(M) = A₁ + A₂ + ... + A_n - (n - 2)π

(здесь A₁, A₂, ..., A_n - углы n-угольника, измеренные в радианной мере). В самом деле, поскольку равные многоугольники M₁ и M₂ имеют одинаковые углы, то и избытки их, очевидно, равны:

ε(M₁) = ε(M₂);

таким образом, свойство инвариантности выполнено.

Пусть теперь n-угольник M разбит ломаной линией A₁B₁B₂ ... B_iA_k на два меньших многоугольника M₁ и M₂ (см. Рис. 15).

Мы можем считать, что точки A₁ и A_k являются вершинами n-угольника M. В самом деле, если бы, скажем, точка A₁ принадлежала стороне многоугольника M, то мы могли бы M объявить (n+1)-угольником с фиктивной вершиной A₁ и углом при этой вершине, равным π; это не изменило бы углового избытка ε(M) многоугольника M, поскольку сумма углов увеличилась на π и величина (n - 2)π - также на π. Теперь имеем (см. Рис. 15, где углы многоугольника M₁ отмечены одной дугой, а соответствующие углы многоугольника M₂ - двумя дугами):

и

Складывая эти выражения и учитывая, что и , получаем

ε(M₁) + ε(M₂) = A₁ + A₂ + ... + A_k + A_k+1 + ... + A_n + i · 2π - (k + i - 2)π - (n - k + i)π = A₁ + A₂ + ... + A_n - (n - 2)π = ε(M),     (7)

что и доказывает выполнение для углового избытка свойства аддитивности.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-