В евклидовой геометрии аддитивность углового избытка никак не может быть использована для построения теории площадей: она является просто следствием того обидного с точки зрения наших настоящих интересов обстоятельства, что угловой избыток каждого многоугольника равен в евклидовой геометрии нулю. Однако в неевклидовой геометрии Римана угловой избыток положителен, т. е. удовлетворяет условию а). Таким образом, для того чтобы получить величину, удовлетворяющую всем четырем условиям а) - г), надо лишь нормировать угловой избыток (умножив его на постоянный множитель пропорциональности k) с тем, чтобы соблюдалось и условие г). При этом выбор числа k существенно зависит от выбора единицы измерения площадей. Выберем эту единицу так, чтобы треугольник с тремя прямыми углами (в сферической геометрии отвечающий одной восьмой части полной сферы, см. Рис. 16) имел площадь, равную его угловому избытку, т. е. равную ; при этом площадь всей сферы будет равна 4π (таким образом, радиус сферы принимается здесь за 1), а площадь всей неевклидовой плоскости Римана равна 2π. При этом будем иметь k = 1, т. е. площадь каждого многоугольника будет равна его угловому избытку:

s(M) = ε(M) = A₁ + A₂ + ... + A_n - (n - 2)π.     (8)

В частности, площадь произвольного треугольника ABC будет равна

s_ΔABC = A + B + C - π.     (8a)

Заметим еще, что при таком выборе единицы измерения площадей площадь круга радиуса ρ будет равна

     (9)

(длина прямой в плоскости Римана принимается здесь равной πr).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-