б) Одно из важных приложений жордановой формы - вычисление функций от матриц (пока мы знакомы лишь с полиномиальными функциями). Пусть, скажем, нам нужно знать большую степень A^_N матрицы A. Так как степень жордановой матрицы вычислить легко (п. 13), экономный способ может состоять в использовании формулы A^_N = XJ^_NX ^-1, где A = XJX ^-1: дело в том, что матрица X вычисляется раз навсегда и не зависит от N. Эту же формулу можно использовать для оценки роста элементов матрицы A^_N.

в) В терминах жордановой формы легко вычислить минимальный многочлен матрицы A. В самом деле, ограничимся для простоты случаем поля нулевой характеристики. Тогда минимальный многочлен равен , минимальный многочлен блочной матрицы равен , наконец, минимальный многочлен общей жордановой матрицы с диагональными элементами ( при ) равен , где r_j - наибольший размер жордановой клетки, отвечающей .

10. Другие нормальные формы. В этом пункте вкратце опишем другие нормальные формы матриц, пригодные, в частности, для алгебраически незамкнутых полей.

а) Циклические пространства и циклические клетки. Пространство L называется циклическим относительно оператора f, если в L существует такой вектор l, также называемый циклическим, что векторы l, f(l), ..., f^n-1(l) образуют базис L. Полагая e_i = f^n-i(l), i = 1, ... n = dim L, имеем

где однозначно определяются из соотношения . Матрица оператора f в таком базисе называется циклической клеткой. Наоборот, если матрица оператора f в базисе (e₁, ..., e_n) является циклической клеткой, то вектор l = e_n цикличен, и e_i = f^n-i(e_n) (индукция вниз по i).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-