Каждый столбец, таким образом, изображает базис инвариантного подпространства, отвечающего одной жордановой клетке, размер которой равен высоте этого столбца (числу точек в нем): если

то

Наоборот, если мы найдем в L базис, элементы которого f переводит в другие его элементы или в нуль так, что элементы этого базиса вместе с действием f можно изобразить подобной диаграммой, то он будет жордановым базисом для L.

Проведем доказательство существования индукцией по размерности L. Если dim L = 1, то нильпотентный оператор f является нулевым, и любой ненулевой вектор в L образует его жорданов базис. Пусть теперь dim L = n > 1, и пусть для размерностей, меньших n, существование жорданова базиса уже доказано. Обозначим через подпространство собственных векторов для f, т. е. Ker f. Так как dim L₀ > 0, имеем dim L/L₀ < n, а оператор индуцирует оператор .

По индуктивному предположению имеет жорданов базис. Можем считать его непустым: иначе L = L₀, и любой базис L₀ будет жордановым для .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-