Построим диаграмму D, отвечающую данному жорданову базису L = L(0). Размеры жордановых клеток - это высоты ее столбцов; если, как на чертеже, расположить столбцы в порядке убывания, то эти высоты однозначно определятся, если известны длины строк в диаграмме, начиная с нижней, в порядке убывания. Покажем, что длина нижней строки равна размерности L₀ = Ker f. Действительно, возьмем любой собственный вектор l для f и представим его в виде линейной комбинации элементов D. В эту линейную комбинацию все векторы, находящиеся выше нижней строки, войдут с нулевыми коэффициентами. Действительно, если бы самые высокие векторы с ненулевыми коэффициентами лежали в строке с номером , то вектор f^h-1(l) = 0 был бы нетривиальной линейной комбинацией элементов нижней строки D (ср. конец доказательства предложения п. 7), а это противоречит линейной независимости элементов D. Значит, нижняя строка D образует базис L₀, так что ее длина равна dim L₀, и потому эта длина одинакова для всех жордановых базисов. Точно так же длина второй строки не зависит от выбора базиса, так как она равна размерности Ker в L/L₀ в обозначениях предыдущего пункта. Это завершает доказательство единственности и теоремы п. 1.

9. Замечания. а) Пусть оператор f представлен матрицей A в некотором базисе, тогда задача приведения A к жордановой форме может быть решена с помощью следующих действий.

Вычислить характеристический многочлен A и его корни.

Вычислить размеры жордановых клеток, отвечающих корням . Для этого достаточно вычислить длины строк соответствующих диаграмм, т. е. dim Ker(A - ), dim Ker(A - )² - dim Ker(A - ), dim Ker(A - )³ - dim Ker(A - )², ...

Построить жордановы форму J матрицы A и решить матричное уравнение AX - XJ = 0. Пространство решений этой линейной системы уравнений будет, вообще говоря, многомерно, и среди решений будут и вырожденные матрицы. Но по теореме существования обязательно есть невырожденные решения; можно взять любое из них.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-