Построим диаграмму для элементов жорданова базиса оператора , в каждом ее столбце возьмем самый верхний вектор , i = 1, ..., m, и положим . Теперь построим диаграмму D из векторов пространства L следующим образом. Для i = 1, ..., m столбец с номером i диаграммы D будет состоять (сверху вниз) из векторов , где h_i - высота i-го столбца в диаграмме . Так как , то и . Выберем базис линейной оболочки векторов в L₀, дополним его до базиса L₀ и поставим дополняющие векторы в качестве дополнительных столбцов (высоты единица) в нижней строке диаграммы D; f переводит их в нуль.

Таким образом, диаграмма D из векторов пространства L вместе с действием оператора f на ее элементы имеет в точности такой вид, как требуется для жорданова базиса. Нужно только проверить, что элементы D действительно образуют базис L.

Сначала покажем, что линейная оболочка векторов из D равна L. Пусть . По предположению . Так как L₀   f-инвариантно, отсюда следует, что

Но все векторы , лежат в строках диаграммы D, начиная со второй снизу, а подпространство L₀ порождено элементами первой строки D по построению. Поэтому l можно представить в виде линейной комбинации элементов D.

Остается проверить линейную независимость элементов D. Прежде всего, элементы нижней строки D линейно независимы. Действительно, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулю, то она должна иметь вид , т. к. остальные элементы нижней строки дополняют базис линейной оболочки до базиса L₀. Но все поэтому

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-