Доказательство. Допустим, . Полагая r = max(r₁, r₂), находим и . Следовательно, является линейным подпространством.

Если - собственное значение для f, то имеется собственный вектор, отвечающий , так что . Наоборот, пусть . Выберем наименьшее значение r, для которого . Очевидно, . Вектор является собственным для f с собственным значением : по выбору r и , откуда .

5. Предложение. , где пробегает все собственные значения оператора f, т. е. различные корни характеристического многочлена f.

Доказательство. Пусть - характеристический многочлен при . Положим . Проверим следующую серию утверждений.

а) , т. е. . Действительно, по теореме Гамильтона-Кэли.

б) L = L₁ + ... + L_s. Действительно, так как многочлены F_i(t) в совокупности взаимно простые, существуют такие многочлены X_i(t), что . Поэтому, подставляя вместо t оператор f, имеем

Применяя это тождество к любому вектору , находим

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-