так что

и .

Из последнего же соотношения следует, что все a_i = 0, потому что векторы составляют нижнюю строку диаграммы и являются частью базиса L/L₀.

Наконец, покажем, что если имеется любая нетривиальная линейная комбинация векторов D, равная нулю, то из нее можно получить нетривиальную линейную зависимость между векторами нижней строки D. В самом деле, отметим самую верхнюю строку D, в которой имеются ненулевые коэффициенты этой воображаемой линейной комбинации. Пусть номер этой строки (считая снизу) равен h. Применим к этой комбинации оператор f^h-1. Очевидно, ее часть, отвечающая h-й строке, перейдет в нетривиальную линейную комбинацию элементов нижней строки, а остальные слагаемые обратятся в нуль. Это завершает доказательство предположения.

Теперь осталось проверить часть теоремы из п. 1, относящуюся к единственности.

8. Пусть фиксирован произвольный жорданов базис оператора f. Любой диагональный элемент матрицы оператора f в этом базисе, очевидно, является одним из собственных значений этого оператора. Рассмотрим часть базиса, отвечающего всем блокам матрицы с этим значением , и обозначим через его линейную оболочку. Поскольку , имеем , где - корневое подпространство L. Кроме того, по определению жорданова базиса и по предложению п. 5, где в обоих случаях пробегает все собственные значения оператора f по одному разу. Следовательно, и . Значит, сумма размеров жордановых клеток, отвечающих каждому , не зависит от выбора жорданова базиса, и, более того, от выбора базиса не зависят линейные оболочки . Поэтому достаточно проверить теорему единственности для случая или даже для L = L(0).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-